「絶対値」を初めて学習するのは、中学1年生の「正負の数」。

正負の数の計算は、中学校に入って最初に苦戦する単元です。

最初が肝心と言いますが、数学にも当てはまります!

今回述べていく「絶対値」も中学校から学び、高校・大学でも学習していきます。

人によっては仕事でも使うことがあるかもしれません。

そのため最初に学んだ時に、分かるまで勉強しておくことが大切ですね!

 

絶対値ってそもそもなんだろう?

では、そもそも「絶対値」とは何の値を示しているのでしょう。

いざ問われると答えづらくありませんか?

「なんとなくのイメージはできるけれど、はっきりと説明はできないかも…。」

「絶対の値…?」

たしかに、正しく説明しようとすると難しいですよね。

ではここで絶対値について確認していきましょう!

 

絶対値の定義

絶対値とは、『数直線上において、ある数字が原点0からどれだけの距離にあるのかを表している値』になります。

言葉だけだと、イメージしづらいですね。

では、分かりやすい例を使って説明していきます。

 

 

このような温度計を見たことはありませんか?

(なければ、天気ニュースの気温をイメージしてください。)

0より上の数字を示していれば、「+何℃

0より下の数字を示していれば、「-何℃

このように表されています。

例えば、「+10℃」「-10℃」の2つを確認してみましょう。

「+10度」→0℃を基準値として、それより10℃高い

「-10度」→0℃を基準値として、それより10℃低い

ということを指しているのです。

つまり、0℃を基準として同じ数字分だけ高いか低いかを示しているのです!

 

絶対値の記号

さて、絶対値のイメージは掴めたかと思います。

しかし、毎回温度計を取り出してくることは不可能だと思います。

(テストで温度計を持ち込むことはできないですしね!)

そのため、数式に出てくる絶対値を見てみましょう。

絶対値は「||」という記号を使って表されます。

具体例を出して実際に確認してみましょう。

「2」と「-2」の2つの数字を使います。

「2」の絶対値は|2|、「-2」の絶対値は|-2| と表します。

数字を棒で挟むだけなので、とっても簡単です!

 

記号のはずし方

では、絶対値を表す記号「||」を外してみましょう。

ただ、「||」で挟まれたものが数字だったり、文字だったりします!

2つのパターンに分けて、確認していきましょう。

 

数字のパターン

結論から述べると、

|5|→5

|+5|→5

|-5|→5

このようになります。

||の中身が負の数のときは、その数に「-1」をかけたものが絶対値になります。

||の中身が正の数でも負の数でも、符号をはずしたものがその数値の絶対値となるのです!

 

文字のパターン

文字の場合は、数字と違って少しややこしいです…。

(|X|や|X-5|のようなものがあります。)

ここは理解できるまで、じっくり読んでください!

文字の場合は、||の中が正の数のときと負の数のときの2パターンを考えないといけないのです。

 

|X|のとき

X>0(Xが正の数)のとき、|X|=X

X<0(Xが負の数)のとき、|X|=-X

 

|X-5|の場合

X-5>0(X-5が正の数)⇒X>5のとき、|X-5|=X-5

X-5<0(X-5が負の数)⇒X<5のとき、

|X-5|=-(X-5)=-X+5

 

このようになります。

数字の場合のときも述べましたが、

||の中身が負の数のときは、その数に「-1」をかけたものが絶対値です!!

 

絶対値の基本を確認しておこう!

ここまで、絶対値の基本の基本を見てきました。

では次に、実際に絶対値を使ってみましょう!

 

数直線のおさらい

数直線は、一つの直線に数を対応させて表した図です。

0(原点)が中央にあり、同じ幅ずつ左右に目盛がつけられています。

0から右に行くと、正の数を表し、左に行くと負の数を表しています。

絶対値を求めるうえでも、利用できるものの1つです。

そのため、この数直線は暗記していつでもイメージできるように、

そして、書けるようにしておきましょう!

 

絶対値を求めよう

では、数直線を使って絶対値を確認していきましょう。

 

 

絶対値は、0からの距離を表した数値でしたね!

「+2」は0からの距離が2なので、「+2」の絶対値は2。

「-5」は0からの距離が5なので、「-5」の絶対値は5となります。

また、「0」の絶対値は0となりますので、注意してくださいね!

 

絶対値の大小

正負の数において、大小を比べるのに数直線や絶対値を使うと分かりやすいです!

例えば、「+4」と「+10」ではどちらが大きいでしょう?

絶対値として考えても求められますし、数直線で考えても求められますね!

これは小学生でも分かる、基礎中の基礎ですね。

では、「-5」と「-1」ならどちらが大きいでしょう?

私が小学生の時は、「-5」と答えていました。

負の数を習っていませんし、数字が大きい方が大きいと考えていたからです。

負の数同士の大きさ比べは注意しないといけないのです。

では、数直線で確かめてみましょう!

 

数は右に行くほど大きくなっていきます。

数直線をみると、「-5」と「-1」なら「-1」の方が、右側にありますね!

つまり、「-1」の方が数は大きいということです!

まとめると、

①正の数同士の大小は、数字が大きい方が大きい。

②負の数同士の大小は、数字が小さい方が大きい。

ということになりますので、覚えておいてくださいね!

 

練習問題にチャレンジ

では、実際に絶対値の問題に挑戦してみましょう!

間違えても大丈夫です!

ただ、そのままにするのは絶対にやめてください!

上に戻って、しっかりと確認してくださいね!

 

【問題】

1.次の数の絶対値を求めよう。

9、-3、0、4、-8.3

 

2.絶対値が4になる数をすべて求めよう。

 

3.次の式を計算して求めよう。

|6|+|-2|-|5|=

 

 

 

 

 

 

 

 

【解答&解説】

1.次の数の絶対値を求めよう。

9、-3、0、4、-8.3

→9、3、0、4、8.3 となります。

 

絶対値は、「符号(+、-)を取った数値」でしたね!

ここで注意しないといけないのが、

0の絶対値は0であるということです。

 

 

2.絶対値が4になる数をすべて求めよう。

→-4、+4 となります。

符号を取った後が4になるのは、この2つだけですね!

 

 

3.次の式を計算して求めよう。

|6|+|-2|-|+5|=

→3 となります。

 

計算の順番としては、

①||を外した状態にする。(絶対値を求める。)

|6|→6

|-2|→2

|+5|→5

②外したものを式に置き換える。

6+2-5=3

 

 

絶対値を含む不等式の解き方を見ていこう!

 

 

ここまでは、絶対値の基本を見てきました。

次は、絶対値を含む不等式です!

不等式に絶対値が入ってくることで、難しく感じてしまいませんか?

進め方さえ覚えてしまえれば、あとは簡単です!

それに当てはめて、解いていけばいいだけですからね!

まずは、その進め方を確認していきましょう。

 

①絶対値記号(||)の中身が0以上か負の数かで場合分けをする。

②絶対値記号(||)をはずして、普通に方程式・不等式を解く。

③場合分けした条件を満たしているか確認する。

④解をまとめる。

 

この順番で、問題を解いていきましょう。

 

基礎問題

1.|X+4|=6

2.|X+2|=3X

 

 

…どうでしょうか。解けましたか?

では、進め方①~④に沿って解いていきます。

 

1.|X+4|=6

→(i)X+4≧0 すなわち X≧-4のとき…①

|X+4|=6

X+4=6…②

X=2

これは、X≧-4を満たす。…③

 

→(ii)X+4<0 すなわち X<-4のとき…①

|X+4|=6

-(X+4)=6 ←符号(-)をつける

-X-4=6…②

X=-10

これは、X<-4を満たす。…③

(i)(ii)より、X=2、-10…④

 

 

2.|X+2|=3X

→(i)X+2≧0 すなわち X≧-2のとき…①

|X+2|=3X

X+2=3X…② 

X=1

これは、X≧-2を満たす。…③

 

→(ii)X+2<0 すなわち X<-2のとき…①

|X+2|=3X

-(X+2)=3X ←符号(-)をつける

-X-2=3X…②

X=-1/2

これは、X<-2を満たさない。…③

(i)(ii)より、X=1…④

 

この2問は基礎問題なので、数字を変えたりして慣れるまで解きましょう!

できるまでやれば、できる!!

できるようになれば、次は応用問題にチャレンジしよう!

 

応用問題

1.|X+6|<8

2.|X+4|≧5X

 

 

 

…基礎問題と違って、不等式になりましたね!

しかし!解く進め方は先ほどと同じで大丈夫です!

では、進め方①~④に沿って解いていきます。

 

 1.|X+6|<8

→(i)X+6≧0 すなわち X≧-6のとき…①

|X+6|<8

X+6<8…②

X<2

X≧-6より、-6≦X<2…③

 

→(ii)X+6<0 すなわち X<-6のとき…①

|X+6|<8

-(X+6)<8 ←符号(-)をつける

-X-6<8…②

X>-14 ←両辺を-1で割るので、不等号の向きが変わることに注意!

X<-6より、-14<X<-6…③

(i)(ii)より、-14<X<2…④

 

 

 2.|X+4|≧5X

→(i)X+4≧0 すなわち X≧-4のとき…①

|X+4|≧5X

X+4≧5X…②

X≦1 ←両辺を-4で割るので、不等号の向きが変わることに注意!

X≧-4より、-4≦X≦1…③

 

→(ii)X+4<0 すなわち X<-4のとき…①

|X+4|≧5X

-(X+4)≧5X ←符号(-)をつける

-X-4≧5X…②

X≦-2/3 ←両辺を-6で割るので、不等号の向きが変わることに注意!

X<-4より、X<-4…③

(i)(ii)より、X≦1…④

 

 

不等式が入ることで、より数直線のイメージが必要になりますね!

イメージよりも書いた方が…。という人は、ぜひそうしましょう!

では最後に、証明問題です!

 

証明問題

次の不等式を証明しよう。

|X+Y|≦|X|+|Y|

 

 

 

この問題では(右辺)の方が大きくなることが分かるので、(右辺)²-(左辺)²を考えます。

 

|X|+|Y|≧0、|X+Y|≧0より、平方の差を考えると、

(|X|+|Y|)²-|X+Y|²

右の部分の展開は絶対値の性質|X+Y|²=(X+Y)²より、

=|X|²+2|X||Y|+|Y|²-(X²+2XY+Y²)

また、|X|²=X²、|Y|²=Y²、|X||Y|=|XY|より、

=X²+2|XY|+Y²-X²-2XY-Y²

=2|XY|-2XY

=2(|XY|-XY)

ここで、|X|-X≧0より

=2(|XY|-XY)≧0

 

よって、

(|X|+|Y|)²-|X+Y|²≧0

 

ゆえに、

(|X|+|Y|)²≧|X+Y|² が成り立つ

ここで、X≧0、Y≧0のとき、X²≧Y²⇔X≧Yより

|X|+|Y|≧|X+Y|

 

したがって、

|X+Y|≦|X|+|Y|

 

まとめ

さて、ここでは絶対値と不等式について学んできました。

苦手は克服できましたか?

学習は振り返ることも大切ですが、その時にはできるまでやってみましょう!

絶対値が出てきたときには、必ず数直線をイメージしましょう。

書いてみて、目で確認するとより分かりやすいですね。

急がなくていいので、しっかりと理解していきましょう!

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