絶対値と不等式が分からない！問題の解き方はどうする？

こんにちは！オンライン家庭教師WAMです(^^)/

今回は【絶対値と不等式が分からない！問題の解き方はどうする？】についてお話します。

 

「絶対値」を初めて学習するのは、中学１年生の「正負の数」。

正負の数の計算は、中学校に入って最初に苦戦する単元です。

最初が肝心と言いますが、数学にも当てはまります！

今回述べていく「絶対値」も中学校から学び、高校・大学でも学習していきます。

人によっては仕事でも使うことがあるかもしれません。

そのため最初に学んだ時に、分かるまで勉強しておくことが大切ですね！

 

絶対値ってそもそもなんだろう？

では、そもそも「絶対値」とは何の値を示しているのでしょう。

いざ問われると答えづらくありませんか？

「なんとなくのイメージはできるけれど、はっきりと説明はできないかも…。」

「絶対の値…？」

たしかに、正しく説明しようとすると難しいですよね。

ではここで絶対値について確認していきましょう！

 

絶対値の定義

絶対値とは、『数直線上において、ある数字が原点０からどれだけの距離にあるのかを表している値』になります。

言葉だけだと、イメージしづらいですね。

では、分かりやすい例を使って説明していきます。

 

 

このような温度計を見たことはありませんか？

（なければ、天気ニュースの気温をイメージしてください。）

０より上の数字を示していれば、「＋何℃」

０より下の数字を示していれば、「－何℃」

このように表されています。

例えば、「＋１０℃」「－１０℃」の２つを確認してみましょう。

「＋１０度」→０℃を基準値として、それより１０℃高い

「－１０度」→０℃を基準値として、それより１０℃低い

ということを指しているのです。

つまり、０℃を基準として同じ数字分だけ高いか低いかを示しているのです！

 

絶対値の記号

さて、絶対値のイメージは掴めたかと思います。

しかし、毎回温度計を取り出してくることは不可能だと思います。

（テストで温度計を持ち込むことはできないですしね！）

そのため、数式に出てくる絶対値を見てみましょう。

絶対値は「｜｜」という記号を使って表されます。

具体例を出して実際に確認してみましょう。

「２」と「－２」の２つの数字を使います。

「２」の絶対値は｜２｜、「－２」の絶対値は｜－２｜　と表します。

数字を棒で挟むだけなので、とっても簡単です！

 

記号のはずし方

では、絶対値を表す記号「｜｜」を外してみましょう。

ただ、「｜｜」で挟まれたものが数字だったり、文字だったりします！

２つのパターンに分けて、確認していきましょう。

 

数字のパターン

結論から述べると、

｜５｜→５

｜＋５｜→５

｜－５｜→５

このようになります。

｜｜の中身が負の数のときは、その数に「－１」をかけたものが絶対値になります。

｜｜の中身が正の数でも負の数でも、符号をはずしたものがその数値の絶対値となるのです！

 

文字のパターン

文字の場合は、数字と違って少しややこしいです…。

（｜X｜や｜X－５｜のようなものがあります。）

ここは理解できるまで、じっくり読んでください！

文字の場合は、｜｜の中が正の数のときと負の数のときの２パターンを考えないといけないのです。

 

｜X｜のとき

X＞０（Xが正の数）のとき、｜X｜＝X

X＜０（Xが負の数）のとき、｜X｜＝－X

 

｜X－５｜の場合

X－５＞０（X－５が正の数）⇒X＞５のとき、｜X－５｜＝X－５

X－５＜０（X－５が負の数）⇒X＜５のとき、

｜X－５｜＝－（X－５）＝－X＋５

 

このようになります。

数字の場合のときも述べましたが、

｜｜の中身が負の数のときは、その数に「－１」をかけたものが絶対値です！！

 

絶対値の基本を確認しておこう！

ここまで、絶対値の基本の基本を見てきました。

では次に、実際に絶対値を使ってみましょう！

 

数直線のおさらい

数直線は、一つの直線に数を対応させて表した図です。

０（原点）が中央にあり、同じ幅ずつ左右に目盛がつけられています。

０から右に行くと、正の数を表し、左に行くと負の数を表しています。

絶対値を求めるうえでも、利用できるものの１つです。

そのため、この数直線は暗記していつでもイメージできるように、

そして、書けるようにしておきましょう！

 

絶対値を求めよう

では、数直線を使って絶対値を確認していきましょう。

 

 

絶対値は、０からの距離を表した数値でしたね！

「＋２」は０からの距離が２なので、「＋２」の絶対値は２。

「－５」は０からの距離が５なので、「－５」の絶対値は５となります。

また、「０」の絶対値は０となりますので、注意してくださいね！

 

絶対値の大小

正負の数において、大小を比べるのに数直線や絶対値を使うと分かりやすいです！

例えば、「＋４」と「＋１０」ではどちらが大きいでしょう？

絶対値として考えても求められますし、数直線で考えても求められますね！

これは小学生でも分かる、基礎中の基礎ですね。

では、「－５」と「－１」ならどちらが大きいでしょう？

私が小学生の時は、「－５」と答えていました。

負の数を習っていませんし、数字が大きい方が大きいと考えていたからです。

負の数同士の大きさ比べは注意しないといけないのです。

では、数直線で確かめてみましょう！

 

数は右に行くほど大きくなっていきます。

数直線をみると、「－５」と「－１」なら「－１」の方が、右側にありますね！

つまり、「－１」の方が数は大きいということです！

まとめると、

①正の数同士の大小は、数字が大きい方が大きい。

②負の数同士の大小は、数字が小さい方が大きい。

ということになりますので、覚えておいてくださいね！

 

練習問題にチャレンジ

では、実際に絶対値の問題に挑戦してみましょう！

間違えても大丈夫です！

ただ、そのままにするのは絶対にやめてください！

上に戻って、しっかりと確認してくださいね！

 

【問題】

１．次の数の絶対値を求めよう。

９、－３、０、４、－８.３

 

２．絶対値が４になる数をすべて求めよう。

 

３．次の式を計算して求めよう。

｜６｜＋｜－２｜－｜５｜＝

 

 

 

 

 

 

 

 

【解答＆解説】

１．次の数の絶対値を求めよう。

９、－３、０、４、－８.３

→９、３、０、４、８.３　となります。

 

絶対値は、「符号（＋、－）を取った数値」でしたね！

ここで注意しないといけないのが、

０の絶対値は０であるということです。

 

 

２．絶対値が４になる数をすべて求めよう。

→－４、＋４　となります。

符号を取った後が４になるのは、この２つだけですね！

 

 

３．次の式を計算して求めよう。

｜６｜＋｜－２｜－｜＋５｜＝

→３　となります。

 

計算の順番としては、

①｜｜を外した状態にする。（絶対値を求める。）

｜６｜→６

｜－２｜→２

｜＋５｜→５

②外したものを式に置き換える。

６＋２－５＝３

 

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絶対値を含む不等式の解き方を見ていこう！

 

 

ここまでは、絶対値の基本を見てきました。

次は、絶対値を含む不等式です！

不等式に絶対値が入ってくることで、難しく感じてしまいませんか？

進め方さえ覚えてしまえれば、あとは簡単です！

それに当てはめて、解いていけばいいだけですからね！

まずは、その進め方を確認していきましょう。

 

①絶対値記号（｜｜）の中身が０以上か負の数かで場合分けをする。

②絶対値記号（｜｜）をはずして、普通に方程式・不等式を解く。

③場合分けした条件を満たしているか確認する。

④解をまとめる。

 

この順番で、問題を解いていきましょう。

 

基礎問題

１．｜X＋４｜＝６

２．｜X＋２｜＝３X

 

 

…どうでしょうか。解けましたか？

では、進め方①～④に沿って解いていきます。

 

１．｜X＋４｜＝６

→（ｉ）X＋４≧０　すなわち　X≧－４のとき…①

｜X＋４｜＝６

X＋４＝６…②

X＝２

これは、X≧－４を満たす。…③

 

→（ｉｉ）X＋４＜０　すなわち　X＜－４のとき…①

｜X＋４｜＝６

－（X＋４）＝６　←符号（－）をつける

－X－４＝６…②

X＝－１０

これは、X＜－４を満たす。…③

（ｉ）（ｉｉ）より、X＝２、－１０…④

 

 

２．｜X＋２｜＝３X

→（ｉ）X＋２≧０　すなわち　X≧－２のとき…①

｜X＋２｜＝３X

X＋２＝３X…② 

X＝１

これは、X≧－２を満たす。…③

 

→（ｉｉ）X＋２＜０　すなわち　X＜－２のとき…①

｜X＋２｜＝３X

－（X＋２）＝３X　←符号（－）をつける

－X－２＝３X…②

X＝－１／２

これは、X＜－２を満たさない。…③

（ｉ）（ｉｉ）より、X＝１…④

 

この２問は基礎問題なので、数字を変えたりして慣れるまで解きましょう！

できるまでやれば、できる！！

できるようになれば、次は応用問題にチャレンジしよう！

 

応用問題

１．｜X＋６｜＜８

２．｜X＋４｜≧５X

 

 

 

…基礎問題と違って、不等式になりましたね！

しかし！解く進め方は先ほどと同じで大丈夫です！

では、進め方①～④に沿って解いていきます。

 

　１．｜X＋６｜＜８

→（ｉ）X＋６≧０　すなわち　X≧－６のとき…①

｜X＋６｜＜８

X＋６＜８…②

X＜２

X≧－６より、－６≦X＜２…③

 

→（ｉｉ）X＋６＜０　すなわち　X＜－６のとき…①

｜X＋６｜＜８

－（X＋６）＜８　←符号（－）をつける

－X－６＜８…②

X＞－１４　←両辺を－１で割るので、不等号の向きが変わることに注意！

X＜－６より、－１４＜X＜－６…③

（ｉ）（ｉｉ）より、－１４＜X＜２…④

 

 

　２．｜X＋４｜≧５X

→（ｉ）X＋４≧０　すなわち　X≧－４のとき…①

｜X＋４｜≧５X

X＋４≧５X…②

X≦１　←両辺を－４で割るので、不等号の向きが変わることに注意！

X≧－４より、－４≦X≦１…③

 

→（ｉｉ）X＋４＜０　すなわち　X＜－４のとき…①

｜X＋４｜≧５X

－（X＋４）≧５X　←符号（－）をつける

－X－４≧５X…②

X≦－２／３　←両辺を－６で割るので、不等号の向きが変わることに注意！

X＜－４より、X＜－４…③

（ｉ）（ｉｉ）より、X≦１…④

 

 

不等式が入ることで、より数直線のイメージが必要になりますね！

イメージよりも書いた方が…。という人は、ぜひそうしましょう！

では最後に、証明問題です！

 

証明問題

次の不等式を証明しよう。

｜X＋Y｜≦｜X｜＋｜Y｜

 

 

 

この問題では（右辺）の方が大きくなることが分かるので、（右辺）²－（左辺）²を考えます。

 

｜X｜＋｜Y｜≧０、｜X＋Y｜≧０より、平方の差を考えると、

（｜X｜＋｜Y｜）²－｜X＋Y｜²

右の部分の展開は絶対値の性質｜X＋Y｜²＝（X＋Y）²より、

＝｜X｜²＋２｜X｜｜Y｜＋｜Y｜²－（X²＋２XY＋Y²）

また、｜X｜²＝X²、｜Y｜²＝Y²、｜X｜｜Y｜＝｜XY｜より、

＝X²＋２｜XY｜＋Y²－X²－２XY－Y²

＝２｜XY｜－２XY

＝２（｜XY｜－XY）

ここで、｜X｜－X≧０より

＝２（｜XY｜－XY）≧０

 

よって、

（｜X｜＋｜Y｜）²－｜X＋Y｜²≧０

 

ゆえに、

（｜X｜＋｜Y｜）²≧｜X＋Y｜²　が成り立つ

ここで、X≧０、Y≧０のとき、X²≧Y²⇔X≧Yより

｜X｜＋｜Y｜≧｜X＋Y｜

 

したがって、

｜X＋Y｜≦｜X｜＋｜Y｜

 

まとめ

さて、ここでは絶対値と不等式について学んできました。

苦手は克服できましたか？

学習は振り返ることも大切ですが、その時にはできるまでやってみましょう！

絶対値が出てきたときには、必ず数直線をイメージしましょう。

書いてみて、目で確認するとより分かりやすいですね。

急がなくていいので、しっかりと理解していきましょう！